点差法与中点弦
取焦点在x轴的椭圆上不过原点的一条弦AB，M为弦AB中点
则
证明:
(资料图片)
设
由A，B都在椭圆上得
两式作差得
变形既
∴ 得证.
以上方法既为点差法，类似带点作差的方法在解答问题过程中有着广泛运用.
如图所示，连接BO并延长交椭圆于点C，连接AC，则显然有OM为△ABC中位线，故OM∥AC也既
又由以上知
从而得 .
这就是椭圆的第三定义.
事实上，考虑圆锥曲线的统一性，我们可以从仿射变换的角度来审视以上.
令椭圆经仿射变换得到圆O:
对圆O取任意弦A`B`，令其中点为M`，且
再过原点做线段AB的中线OM`
则由垂径定理知
再将坐标系进行逆变换即可得
另一方面，由于直径所对的圆周角为直角，既斜率之积为－1，
同理经仿射变换及其逆变换既可得以上椭圆的第三定义:
对于平面内关于原点对称的A，B两点，点P是平面内异于A，B的另外一点，若存在，且P点满足，则P点的轨迹方程为
显然是一个椭圆.
中点弦隐藏的轨迹方程
①在椭圆中，若弦AB的中点为，则AB方程是
推导:
根据点差法可得
从而AB方程为
整理既得
同理
②在双曲线中，若弦AB的中点为，则AB的方程是
③在抛物线中，若弦AB的中点为，则AB的方程是
④过椭圆内一点的弦AB，则弦AB的中点M的轨迹方程是 也是椭圆.
推导:
根据点差法可得
既
整理得
同理
⑤过双曲线内一点P的弦AB，则弦AB的中点M的轨迹方程是
也是双曲线.
⑥过抛物线内一点的弦AB，则弦AB的中点M的轨迹方程是 也是抛物线.
中垂线(直线对称)
椭圆(双曲线):
若A，B关于直线l:y＝kx+m或x＝ty+n对称，也既线段AB被直线l垂直平分
取为直线l所在弦中点
则
推导:
设AB斜率为K`
易得
消去k得
所以
同理
消去k得
所以
抛物线:
已知AB是抛物线的弦
设直线AB方程为
联立直线抛物线得
所以
从而得中垂线方程
令y＝0得
故
抛物线上以为中点的弦的中垂线过定点
同理可得
抛物线上以为中点的弦的中垂线过定点.
*以上仅讨论了焦点在x轴上的椭圆，焦点在y轴、双曲线等其余情况读者可自行类比推导.
OVER.
关键词：
